Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól
kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu
zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma
kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.
Animacja 1
Poniżej
przedstawiona animacja, ilustruje jeden z dowodów twierdzenia Pitagorasa.
Zielony czworokąt jest jednym z czterech przystających czworokątów, na
jakie został podzielony dolny kwadrat, dwiema prostymi przechodzącymi przez
jego środek, przy czym jedna z tych prostych jest równoległa do
przeciwprostokątnej trójkąta, a druga jest prostopadła. Najpierw
wypełniane są dwa mniejsze kwadraty, a potem takimi samymi częściami wypełniany
jest największy kwadrat.
Animacja 2
Dowód
A teraz dowód bardziej formalny.
Założenie:
DABC jest prostokątny
Teza:
Dowód:
Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b.
Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa
się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów
prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
Ostatecznie otrzymamy:
Jest to teza naszego twierdzenia.
Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta,
jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.