Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól
kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu
zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma
kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.
Animacja 1
Poniżej
przedstawiona animacja, ilustruje jeden z dowodów twierdzenia Pitagorasa.
Zielony czworokąt jest jednym z czterech przystających czworokątów, na
jakie został podzielony dolny kwadrat, dwiema prostymi przechodzącymi przez
jego środek, przy czym jedna z tych prostych jest równoległa do
przeciwprostokątnej trójkąta, a druga jest prostopadła. Najpierw
wypełniane są dwa mniejsze kwadraty, a potem takimi samymi częściami wypełniany
jest największy kwadrat.
Animacja 2
Dowód
A teraz dowód bardziej formalny.
Założenie:
DABC jest prostokątny
Teza:
Dowód:
Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b.
Zatem pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten składa
się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów
prostokątnych. Jego pole możemy więc zapisać:
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
Ostatecznie otrzymamy:
Jest to teza naszego twierdzenia.
Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta,
jest równa kwadratowi długości trzeciego boku trójkąta, to trójkąt jest prostokątny.
Krzyżówki matematyczne
Krzyżówka Gigant
