Liczby trójkątne i kwadratowe

Liczby trójkątne i kwadratowe są szczególnymi przypadkami tzw. liczb wielokątnych. Zostały one odkryte przez pitagorejczyków.

• Liczby trójkątne
• Liczby kwadratowe

Liczby trójkątne

Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby trójkątnej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą trójkątną

Zależność  na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru:

gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba  trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim:

Liczby kwadratowe

Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby kwadratowej (wskaźnikiem, indeksem), a sama liczbą kwadratową:

Zależność tę wyraża wzór:

gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się  kwadratowi ich liczby.