Liczby trójkątne i kwadratowe
Liczby trójkątne i kwadratowe są szczególnymi przypadkami tzw. liczb
wielokątnych. Zostały
one odkryte przez pitagorejczyków.
Liczby trójkątne
Nazwa "liczby trójkątne"
pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół
jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o
boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych
i zarazem ich geometryczna ilustracja:
Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby
trójkątnej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą trójkątną
Numer liczby |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
... |
Liczby trójkątne |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
55 |
66 |
78 |
91 |
105 |
120 |
... |
Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru:
gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna
o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych. Liczby trójkątne
są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim:
Liczby kwadratowe
Nazwa
"liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o
numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć
kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych
liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:
Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem
liczby kwadratowej (wskaźnikiem, indeksem), a sama liczbą
kwadratową:
Numer liczby |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
... |
Liczby kwadratowe |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
... |
Zależność tę wyraża wzór:
gdzie
n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami
kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma
kolejnych liczb nieparzystych równa się kwadratowi ich liczby.
|