Liczba
π
Stronę tę poświęcamy najsłynniejszej liczbie niewymiernej, liczbie Pi.
Znajdziesz na niej dużo ciekawych rzeczy i poznasz liczbę Pi, jakiej dotąd nie znałeś.
Definicja liczby Pi
Liczba Pi jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy.
π=3,141592...
Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego
Wiliama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku
po wydaniu Analizy L. Eulera. Najważniejszą w historii liczby π,
prawdziwie przełomową datą był rok 1882, w którym matematyk niemiecki F.
Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba π jest liczbą przestępną
(to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach
całkowitych). Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności
zagadnienia kwadratury koła.
Liczba Pi nazywana bywa często „ludolfiną”.
Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego
Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi
z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Interesująca jest historia tej liczby.
Kolejne przybliżenia i wzory
Oto najważniejsze jej oszacowania:
Czyż to nie fascynujące, że jedna i ta sama liczba
Pi wykazuje tak przedziwne i różnorodne związki z arytmetyką, że można
ją otrzymać jako sumy różnych szeregów, granice różnych ciągów?
Od 2 do... 707 cyfr
Liczba Pi przechodziła wiele przemian i odmian.
Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku,
dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa.
Poniższa tabela wskazuje przebieg tego postępu, z pominięciem jednak
drobnych zmian od roku 250 przed naszą erą do roku 1464 naszej ery.
Rok |
Nazwisko |
Liczba znaków dziesiętnych ustalonych |
250 p.n.e.
1464
---
1580
1585
1579
1596
1597
1615
1621
1705
1706
1719
1789
1841
1844
1847
1853
1853
1853
1853
1853
1854
1855
1873
|
Archimedes
Regiomontanus
astronomowie hinduscy
J. Rhaeticus
Piotr Metius
Viète
Ludolf Van Ceulen
Adrian Romanus
Ludolf Van Ceulen
Snellius
Abr. Sharp
Machin
De Lagny
Vega
Rutheford
Dahse
Clausen
Shanks
Rutheford
Shanks
Shanks
Richter
Richter
Richter
Shanks
|
2
3
3
8
6
11
20
16
32
35
72
100
127
143
208
205
250
318
440
530
607
333
400
500
707
|
Zastosowanie maszyn liczących
Poniższa tabela obrazuje postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby
Pi za pomocą maszyn cyfrowych.
Nazwisko |
Rok |
Typ maszyny |
Ilość cyfr rozwinięcia |
G. Reitwiesner
S. C. Nicholson
J. Jeenal
F. Genuys
Daniel Shanks (nie spokrewniony z Williamem) i J. Wrench
J. Gilloud i A. Fillatore
J. Gilloud i M. Dichamp
J. Gilloud i M. Bouyer
|
1949
1954-55
1958
1959
1961
1966
1967
1974
|
ENIAC
NORC
IBM 704
IBM 704
IBM 7090
STRETCH
CDC 6600
?
|
|
2037
3089
10000
16167
100265
250000
500000
1000000
Mnemotechnika liczby Pi
Jeszcze słów
kilka należy poświęcić mnemotechnice liczby Pi.
Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu
dziesiętnym liczby Pi, nie jest sprawą
łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. Znane są
wiersze, które bardzo prosto rozwiązują ten problem. Licząc litery w
poszczególnych wyrazach otrzymujemy kolejne cyfry Pi. Liczba Pi
weszła także do języka potocznego: "pi razy oko".
Oto niektóre z wierszy i powiedzeń:

Kazimierz Cwojdziński (pisownia wiersza dawna)
Kuć i orać
w dzień zawzięcie,
bo plonów
niema bez trudu.
Złocisty szczęścia okręcie
kołyszesz....
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota.
To potęga ludu.
Uwaga: według dawnej pisowni "niema" (w znaczeniu brak) pisało się łącznie.

Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny,
bogini pamięci, ogłoszoną w
„Problemach”
(nr 8/1949), zaznaczając, że zamiast słowa zadania należy
wstawić problemu, a myślnik oznacza cyfrę zero.
Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną,
pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się
zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Polska trawestacja wiersza rosyjskiego
Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła...

Liczba Pi [Wiersz Wisławy Szymborskiej]
Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są
początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ
nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć
trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem,
czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po
kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później,
czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na
liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez
powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie,
chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i
bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest
warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że
zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta
dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer
koszuli
rok tysiąc dziewięćset
siedemdziesiąty trzeci szóste
piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt
pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i
szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a
piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną
wieczność
do trwania.

Wiersz ułożony podczas zmagań
sportowych na Mundialu w Argentynie:
Już i Lato i Deyna
strzelili do bramki obcej
dwa karne
Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha
gdy on tak wypuścił cios szacha
że zdobyć musi cel gry
krzyknął Gol na Mundial Argentyna
50 cyfr po przecinku
Poniżej
podane jest rozwinięcie dziesiętne liczby л z
dokładnością 50 cyfr po przecinku:
π = 3,141592653589793238462643383279 50288419716939937510...
Ciekawostki
Liczba
31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38
cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza.
1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c
(km),
gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę).
Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co
w przybliżeniu wynosi π·107·c.
Uczeni
szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą
radiową informację o wartości liczby Pi.
Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają
nasz komunikat.
|