Ta strona używa ciasteczek.
Matematyka jest delikatnym kwiatem,
który rośnie nie na każdej glebie
i zakwita nie wiadomo kiedy i jak.
(Jean Fabre)
Twoja wyszukiwarka
Dom
Witamy
Mapa serwisu
Do zrobienia
Krzyżówki
Łamigłówki
Testy online
Gry liczbowe
Gra logiczna
Do czytania
Niezbędnik
Liczby
Starożytność
*Artykuły
Aforyzmy i...
Pomoce
Programy
Animacje
YouTube
Dla belfra
Święto Mat.
Czasopisma
Scenariusze
Konkurs
Inne
O Autorce
O Serwisie
Kontakt

Licznik:  2061074

Hit - Temat dnia
Dzisiaj polecamy
Zadania - łamigł.

Reklama

>> Do czytania >> Artykuły >> Trójkąty pitagorejskie

Artykuły

Trójkąty pitagorejskie

Z trójkątami pitagorejskimi uczniowie spotykają się przy okazji twierdzenia Pitagorasa. Często polecamy im  poszukanie kilku takich trójkątów.

Trójkąt pitagorejski, to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem: a2+b2=c2. Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne. Znany jest trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego, wyrażony wzorem 32+42=52.

Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a2+b2=c2, Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:

a=2n+1,   b=2n(n+1),   c=2n2+2n+1,
(I)              (2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,

gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną. 
Oto tabelka ułożona na tej zasadzie.

n I przyprostokątna
2n+1
II przyprostokątna
2n(n+1)
Przeciwprostokątna
2n2+2n+1
1
2
3
4
5
6
...
3
5
7
9
11
13
...
4
12
24
40
60
84
...
5
13
25
41
61
85
...

Z tabelki powyższej wynika, że liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz  z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskich trójkąta:

4, 5   ...  12, 13   ...  24, 25   ...  40, 41   ...  60, 61   ...  84, 85   ... 
  32   52  72 92 112 132

Oprócz wzoru (I) przypisywanego Pitagorasowi, znane są inne znacznie późniejsze wzory do odnajdowania trójkątów pitagorejskich. Oto jeden z nich:

(II)     (m2 + n2)2=(m2 - n2)2 + (2mn)2.

W równaniu tym w miejsce m i n podstawiać można dowolne liczby naturalne (pod warunkiem, że m>n). Przyjmują na przykład m=3, n=1,otrzymujemy 102=82 + 62, czyli zespół liczb 6, 8, 10, którego nie obejmuje powyższa tabelka. Wzór (II) jest więc ogólniejszy niż wzór (I). Nie dość na tym. Wzór (II) zawiera wszystkie możliwe trójki pitagorejskie. Jeżeli chcemy uniknąć powtarzania się trójkątów pitagorejskich podobnych (podobne są np. trójkąty o bokach: 3, 4, 5 i 6, 8, 10), to należy przestrzegać następujących reguł:

  • jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga nieparzysta,
  • liczby m i n powinny być pierwsze względem siebie, czyli nie powinny mieć żadnego wspólnego dzielnika z wyjątkiem jedności,
  • m > n.
Poniższa tabelka ułożona jest w myśl powyższych reguł.
m n a b c
2
3
4
4
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
9
...
1
2
3
1
4
2
5
3
1
6
4
2
7
5
3
1
8
6
4
2
...
3
5
7
15
9
21
11
*
35
13
33
45
15
39
55
63
17
*
65
77
...
4
12
24
8
40
20
60
*
12
84
56
28
112
80
48
16
144
*
72
36
...
5
13
25
17
41
29
61
*
37
85
65
53
113
89
73
65
145
*
97
85
...
Nowości
Nowości
[2014-02]
Trójkąty prostokątne - interaktywny test wyboru
[2014-03]
Wielokąty i okręgi - interaktywny test wyboru
[2014-04]
Graniastosłupy - interaktywny test wyboru
Krzyżówki matematyczne
Krzyżówki matematyczne


Krzyżówka Gigant
Krzyżówka Gigant


Krzyżówka Informatyczna
Krzyżówka Informatyczna


Dowcip na dziś
Matematyk, który już nie może uprawiać matematyki zajmuje się jej nauczaniem, gdy i to przestaje mu wychodzić zaczyna zajmować się dydaktyką

Zagłosuj na nas
Matematyka Toplista
Toplista eMatma

Wasze opinie
[2009-05-01] Artykuł o zadaniu konkursowym jest b.interesujący. Pozdrawiam Marta K.
[2009-05-14] To jedna z ciekawszych stron o matematyce. Czekam na więcej nowych materiałów. Myszka.
[2009-05-19] Często wykorzystuję na lekcjach testy online. Gimnazjum/Poznań.
Wyślij opinię
Wszelkie prawa zastrzeżone © J. Rzeźnik
Coding ©2008 Logo
Logo