Jednym z celów nauczania matematyki jest nauczyć
poprawnego rozumowania i wnioskowania. Materiałem, na którym uczymy się w
szkole wnioskować i rozumować, są w matematyce twierdzenia. Twierdzenia
bywają różnorakie. Niektóre wydają się pozornie sprzeczne z powszechnie
przyjętymi sądami, tym niemniej są prawdziwe. Nazywamy jeparadoksami.
Inne tylko pozornie wydają się prawdziwe, w rzeczywistości są zaś fałszywe.
Nazywamy je sofizmatami.
Już w
gimnazjum warto uczniom, przy różnych okazjach, pokazywać przykłady
paradoksów i sofizmatów.
Odcinek AP=½ odcinka AB, ale liczba punktów
znajdujących się na odcinku AP jest taka sama jak liczba punktów na
odcinku AB (wyrażając to ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy,
że zbiór punktów odcinka AP ma taką samą moc jak zbiór punktów
odcinka AB). Twierdzenie to wydaje się nam co najmniej dziwne, jest
jednak prawdziwe. Mamy więc do czynienia z paradoksem.
Z rysunku poniższego widać, że każdemu punktowi L odcinka AB możemy
przyporządkować jeden i tylko jeden punkt L' na odcinku CD=AP
i na odwrót.
Liczb naturalnych jest tyle samo co liczb parzystych
nieujemnych (wyrażając to znowu ściśle językiem matematycznym
powiedzielibyśmy, że moc zbioru liczb naturalnych jest równa mocy
zbioru liczb nieujemnych parzystych). Znowu paradoks. Wydaje się przecież,
że tych pierwszych liczb jest więcej niż drugich.
Poniższy rysunek pokazuje bowiem, że każdej liczbie naturalnej można
przyporządkować dokładnie jedną liczbę parzystą nieujemną i na odwrót,
każdej liczbie parzystej nieujemnej można przyporządkować dokładnie
jedną liczbę naturalną. Inaczej mówiąc, można liczby z tych zbiorów
połączyć w pary, muszą więc być one równoliczne.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...
...
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
...
Jeżeli krążek o promieniu r = 10 cm opaszemy nicią
i zmierzymy jej długość, stwierdzimy, że wynosi ona około 62,8 cm
(2πr
= 6,28 cm). Długość równika ziemskiego wynosi około 40 000 km =
4 000 000 000 cm. Jeżeli teraz opaszemy nasz krążek nicią
o 10 cm dłuższą, o długości 72,8 cm, to między krążkiem a nicią
powstanie luz. To samo nastąpi, jeżeli równik ziemski opaszemy taśmą
długości 4 000 000 010 cm. Powstanie również luz.
okazuje się, że w obu przypadkach szerokość luzu będzie taka sama. I
znowu paradoks.
Obwód krążka = 2πr;
obwód powiększony o 10 cm = 2πr + 10 cm. Luz równa się różnicy:
Takie same obliczenia dla równika Ziemi (promień R) dadzą:
A więc luz będzie w obu przypadkach równy i tak duży, że będzie przez
niego mogła przejść pszczoła.
Sofizmaty
Przykłady sofizmatów:
Niech a>b i niech a=b+c.
Równość tę mnożymy przez a-b:
a(a-b)=(b+c)(a-b)
Przekształcamy:
a2-ab=ba-b2+ca-cb
Przenosimy wyrazy:
a2-ab-ac=ab-b2-bc
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
a(a-b-c)=b(a-b-c)
Dzielimy przez (a-b-c) i otrzymujemy:
a=b.
Jest to sofizmat. Wniosek, że a=b, jest fałszywy,
mimo iż pozornie wydaje się nam prawdziwy. Błąd powstał wskutek dzielenia
równania przez wyrażenie, którego wartość wynosi 0 (a-b-c=0).
Mamy ciąg rozumowań:
Jest
to oczywiście sofizmat. Z równości a2=b2 nie
wynika bowiem tylko, że a=b, ale także wynika że, a=-b
Niech x=y.
Mnożymy tę nierówność przez x:
x2=yx.
Odejmujemy od obu stron równania y2:
x2-y2 = yx-y2.
Przekształcamy:
(x-y)(x+y) = y(x-y).
Dzielimy przez (x-y):
x+y = y.
Ponieważ z założenia x=y, więc:
2y=y.
Wniosek: 2=1.
Znowu sofizmat. Błąd taki sam jak w pierwszym przykładzie.
Obieramy dowolny kąt PRS i dwa dowolne punkty C i D na
ramionach tego kata. Prowadzimy prostą prostopadłą CM do PR i prostopadłą
DM do SR. Te dwie proste prostopadłe przecinają się w punkcie M.
Rysujemy okrąg opisany na trójkącie CMD. Okrąg ten przecina ramiona kąta
w dwóch punktach A i B. Punkty A i B łączymy z punktem M. Kąt BCM jest
prosty i jest wpisany w okrąg, więc opiera się na średnicy; tą średnicą
jest odcinek BM. To samo można powiedzieć o kącie ADM: jest prosty,
wpisany w okrąg i opiera się na średnicy AM. Stąd wynika, że okrąg
przeprowadzony przez punkty C, M, D ma dwa środki: X i Y.
To oczywiście kolejny sofizmat. Błąd tkwi w
dopuszczeniu, że okrąg poprowadzony przez punkty C, M, D przetnie ramiona kąta
PRS w dwóch punktach. Po przeprowadzonej analizie (patrz rysunek) należy
poprawić: okrąg przejdzie przez wierzchołek kąta R. Wówczas punkt X
pokryje się z punktem Y.
Krzyżówki matematyczne
Krzyżówka Gigant
Krzyżówka Informatyczna
